KişininAdı		KişininDoğumTarihi		(KişininAdı, KişininDoğumTarihi)
Ali		1978		(Ali, 1978)
Ayşe		1987		(Ayşe, 1987)
Mehmet		1985		(Mehmet, 1985)
Funda		1986		(Funda, 1986)
Zeynep		1974		(Zeynep, 1974)
Özgür		1978		(Özgür, 1978)

HayvanAdı		HayvanÜrün		(HayvanAdı, HayvanÜrün)
Arı		Bal		(Arı, Bal)
Tavuk		Yumurta		(Tavuk, Yumurta)
İnek		Süt		(İnek, Süt)

Tanım (SIRALI İKİLİ)

x ve y gibi iki elemanın, sırası önemli olmak koşulu ile elde edilen  elemanlarına sıralı ikili denir. x e, birinci bileşen; y ye de ikinci bileşen denir.

Tanım (ÖZDEŞ İKİLİ)

Birinci bileşeni ile ikinci bileşeni aynı olan sıralı ikiliye özdeş ikili denir.

ALIŞTIRMALAR

26/4/2007 | Kategori:Matematik | (yok) Yorum yaz! | Baglanti

---

Evrişim

EVRİŞİM (CONVOLUTION) VE UYGULAMALARI

 

1.1.            Giriş

Evrişim (convolution) uzun yıllardır bilinen ve uygulanan bir matematiksel işlem olmakla birlikte bu işlemi tanımlamak için matematikte çok çeşitli terimler kullanılagelmiştir. Örneğin yığışım tümlemesi (superposition integral), tarama (scanning) tümlemesi, Duhamel tümlemesi , yuvarlatma (smoothing) tümlemesi, ağırlıklı ortalama ve Almanca’da katlama (faltung) tümlemesi bunlar arasında sayılabilir. Fizikte ise evrişim, matematik tanımı yerine, daha çok bir işlem olarak ele alınır ve bir aygıtla kaydedilen bir büyüklük üzerinde aygıtın etkisini belirlemek amacıyla kullanılır.

Gerçekte bir ölçü aygıtının, kaydettiği bir zaman imine karşı belirli bir tepkisi, davranışı vardır. Yani bir zaman imini kaydeden bir aygıt, her değişik frekanstaki genlikleri belirli bir katsayı ile çarparak ağırlıklandırır. Bu yollada alete giren imin çeşitli frekanslardaki genlikleri farklı ölçülerde ağırlıklandırıldıklarından, başka bir ime dönüştürülmüş olmaktadır. Kayıt aygıtının bu dönüştürme özelliğine onun dönüşüm (transfer) fonksiyonuadı verilmektedir. Bu olgu yalnız kayıt aygıtı için değil, tüm algılıyıcılar için geçerlidir. Örneğin bir deprem kaydını ele alırsak, bu bir sismogramdır, pek çok bilgiler taşımaktadır, ancak kaydettiği, yer hareketinin bir koyesi değildir. Her- şeyden önce sismometre aygıtı ile yer hareketinin belirli bir yöndeki (N-S ya da E-W) bileşeni kaydedilmek istenmektedir. Sismometrenin kendine özgü bir dönüşüm fonksiyon vardır. Bu dönü- şüm fonksiyonun özelliklerine bağlı olarak, frekans seçiciliğinin de ötesinde, yer hareketinin yer- değiştirmelerini (displacement), hızını ya da ivmesini algılayabilir. Böylece de sismometrenin çıkış imi başka bir ime dönüşmüş olmaktadır. Bu nedenle de aynı istasyonda kısa ve uzun periyodlu sismometrelerle kaydedilmiş sismogramlar çok önemli ayrılıklar gösterirler.

Evrişim zamanla değişmeyen tüm doğrusal dizgiler için geçerli bir işlemdir. Bir dizgede giriş imi ile çıkış arasında doğrusal bir ilişki varsa bu dizgiye <> adı verilir. Çoğu jeofizik uygulamada yeryuvarının kendiside bir doğrusal dizge gibi davranır, kaynakta oluşturulan uyarı imine belirli bir tepki göstererek onu başka bir ime dönüştürür. Kaynakta belirli bir biçime sahip olan uyarı dalgacığı yer tarafından biçim değişikliğine uğratılarak algılama noktasında başka bir dalgacık biçiminde gözlenir. Yerin dönüşüm fonksiyonu katmanlı yapıya ve bu yapı içindeki fiziksel özelliklere bağlı olarak değişir. Bu nedenle yerin belirli bir uyarıya karşı dönüşüm fonksiyonunu bulmakla yer içini modellemek eş anlamlıdır. Bu nedenle de evrişimin jeofizikte çok çeşitli uygulamaları vardır.

 

 

 

 

1.2.           Sürekli zaman fonksiyonlarının evrişimi

Zaman sürekli fonksiyonları olan f1(t) ve f2(t) gibi iki fonksiyonun evrişimi, matematikte

 

 

                              (1.1)

 

 

tümlesi ile tanımlanır ve evrişim tümlemesi (convolution integral) adı verilir. Evrişim (convolved) fonksiyon yine bir zaman fonksiyonudur.

Evrişim simgesel olarak (*) işaretiyle de gösterilir, yani (1.1) bağıntısı

 

 

 

                (1.2)

 

 

biçiminde yazılabilir.

Evrişime giren f1(t) fonksiyonunun t=0 zamanından önce tanımlanmamış olması du-rumunda (causal) (1.1) tümlemsinin alt sınırı sıfır değerinden başlar ve

 

 

                                 (1.3)

 

 

bağıntısıyla gösterilir.

Evrişim işlemi bir doğrusal dizgenin girdi ve çıktısını düzenlediğinde, (1.2) bağın-tısından

 

 

                                                                               (1.4)

 

yazılabilir; burada y(t) doğrusal dizgenin çıktısını, x(t) girdi imini, h(t) de doğrusal diz-genin impuls tepkisini simgelemektedir. Çoğu uygulamada doğrusal düzgenin impuls tepki fonksiyonu tek yanlı yani t<0 için h(t)=0 olmak zorundadır; bu durumda     >t de-ğerinde h(t-  )=0 ve tümlemenin üst sınırı  yerine t değeri alır. Impuls tepki fonk-siyonunun tek yanlı olmaması durumunda girdi imi henüz doğrusal dizgeye girmeden bir çıktının elde edilmesi gibi bir durum ortaya çıkacaktır. Gerek girdi imi, gerekse dizge fonksiyonunun tek yanlı olması durumunda (1.3) evrişim tümlemesi

 

 

                                          (1.5)

 

biçimini alır.

Girdi iminin genel, doğrusal dizgenin tek yanlı olması durumunda evrişim tümleme-si

 

 

                                (1.6)

 

 

biçimini alır.

Evrişim tümlemesini dikkatle inceleyecek olursak bazı özellikler taşıdığını kolayca görürüz. Örnek olarak x(t) ve h(t) gibi iki tek yanlı zaman fonksiyonunun evrişimini ele alır ve bu evrişimin sonucunun y(t) gibi bir zaman fonksiyonu olduğunu düşünürsek

 

 

             

 

bağıntısından evrişim sırasında h(t) nin ters çevrilmiş (düşey eksene göre) ve t kadar kaydırılmış biçiminin yer aldığını görürüz. Şu halde x(t) evrişen, h(t)evriştiren fonksi-yon olarak tanımlanırsa,evrişim için evriştiren fonksiyonun ters çevrilmesi gerekmek-tedir. Bu nedenle evrişim tümlemesine Almanca literatürde katlanma (faltung) tümlemesi adı verilir. Evrişimin katlanma özelliği beraberinde hemen başka bir özelliği getirmektedir: yerdeğiştirme (komütatiflik) özelliği. Nitekim,

 

 

                        (1.7)

                                                                                                                                                                                                 

 

yada simgesel olarak

 

 

 

 

yazılabilir. (*) simgesiyle gösterdiğimiz evrişim işleci sanki çarpma işleci imiş gibi düşünülebilir. Buna göre evrişimde

 

 

 

assossiyatiflik ve distribütiflik özellikleride geçerlidir.

Evrişim tümlemesini incelemeyi sürdürürsek, evrişen fonksiyonla evriştiren, katlanıp kaydırılmış fonksiyonun çarpımının sıfır ile t aralığında tümlenmekte olduğunu görürüz. Burada t kaymayı simgelediğine göre,tümleme sıfır ile kayma değeri arsında hesaplanmakta ve tümlemenin sonucu, evrişim sonunda oluşan y(t) fonksiyonunun t zamanındaki değerlerin vermektedir. Tümleme bir alan hesaplamasına denk olduğuna göre, birbirine göre kaydırılmış fonksiyonların çarpımından oluşan bir çarpım fomksi-yonu ile ekseni arasında kalan alan hesaplanarak y(t) fonksiyonunun t kayma zamanındaki değerine atanıyor demektir. Tümleme aynı zamanda bir ortalama alma işlemi olduğuna göre, evrişim işlemi de kayan ortalama işleminden çok ağırlıklı ortala-madır. Bu yönü ile de evriştiren h(t) fonksiyonu bir ağırlık fonksiyonu olarak değerlendirilebilir.

Evrişim ile ilgili önemli özelliklerden biride bir fonksiyonun birim impuls fonksi-yonu    (t), t=0 zamanında birim genliğe, bunun dışındaki tüm zamanlarda sıfır değeri-ne sahip bir fonksiyondur. Gerçekte matematik açıdan tam anlamıyla bir fonksiyon olmamakla birlikte, çok büyük yararlar sağlaması nedeniyle mühendislik problemlerinde bir fonksiyon gibi ele alınır. Yukarıdaki tanıma göre

                 (1.8)

 

 

yazılabilir.

Daha yukarılarda olduğu gibi bir doğrusal dizgenin ağırlık fonksiyonunu h(t), girdi-sini x(t), çıktısını y(t) ile göstererek girdi-çıktı ilişkisini

 

 

 

 

 

evrişim bağıntısıyla gösterelim. Doğrusal dizgeye bir birim impulsın girdiğini düşünür-sek

 

 

                  

 

 

(1.8) bağıntısı ile verilen özellik nedeniyle de

 

 

 

 

bulunur. Bu durumda, doğrusal dizgeye bir ibrim impuls girdiğinde çıktı olarak h(t) ağırlık fonksiyonu alınıyor demektir. Şu halde bir doğrusal dizgenin ağırlık fonksiyonu dizgenin birim impulsa verdiği yanıttır. Bu nedenle doğrusal dizgelerin ağırlık fonksiyonlarına <> adı verilmektedir.

Buraya kadar evrişim işlemini zaman ortamında ele aldık. Aslında böyle bir sıralama yoktur. Tümlenebilen fonksiyonlar tanımlanabildikleri tüm ortamlarda evrişebilirler. Örneğin x uzaklık boyutunu göstermek üzere

 

      (1.9)

bağıntısı p ve q fonksiyonlarının uzaklık ortamındaki evrişimini simgelemektedir.

Verilen bir ortamda tanımlanmış bir evrişim işlemini başka bir ortama aktarmak ta olanaklıkdır. Örneğin, zaman ortamındaki evrişimi frekans ortamına, uzaklık orta-mındaki evrişimi dalga sayısı ortamına aktarabiliriz. Zaman ortamında tanımlanmış

 

 

 

 

evrişimini frekans ortmına aktarmak isteyelim. Bir fonksiyonun zaman ortamından frekans ortamına aktarımı Fourier dönüşümü olarak bilinir. Fourier dönüşümü bir dönüşüm çiftidir ve

 

 

                                        (1.11)

 

 

bağıntıları ile tanımlanır. Bunlardan ilki Fourier dönüşümü, ikincisi ters Fourier dönüşümüdür.

(1.10) bağıntısı ile verilen zaman ortamı evrişimini frekans ortamına aktarmak için, (1.11) bağıntılarından ilkini kullanarak, her ikiyanının Fourier dönüşümünü almak gerekir:

 

 

 

          (1.12)

 

Tümleme sırasını değiştirip yeniden yazarak 

 

 

        (1.13)

 

 

buluruz. Bu bağıntıda  p=t- dönüşümü yaparsak parantez içindeki tümleme

 

 

      (1.14)

 

 

biçimini alır. Sağdaki tümleme h(p) nin Fourier dönüşümü, yani H( ) dır. Buna göre (1.14) bağıntısı (1.13) te yerine konursa

 

 

         (1.15)

 

 

buluruz. Burada da eşitliğin sağ yanındaki tümleme x( ) nun Fourier dönüşümü olan      

X( ) dır. Buna göre (1.15) bağıntısı kısaca

 

 

          (1.16)

 

 

olarak yazılabilir. (1.16) bağıntısı bize (1.10) bağıntısının Fourier dönüşümünü, yani zaman ortamındaki evrişimin frekans ortamındaki ifadesini vermektedir. Dikkat edilirse (1.10) bağıntısındaki evrişim (1.16) da çarpma işlemine dönüşmüştür. Benzer işlemleri yaparak (1.16) bağıntısından kalkarak (1.10) bağıntısına ulaşmak ta olanaklıdır. Kuşkusuz bu kes dönüşümde ters Fourier dönüşümü uygulamamız gerekecektir. Özetle evrişimdeki bu dönüşüm özelliği tersinir bir özelliktir ve simgesel olarak

 

 

       (1.17)

 

 

biçiminde gösterilebilir. Buna evrişim teoremi adı verilir.

Evrişim işlemini basit bir çarpma işlemine dönüştürmesi nedeni ile evrişim teore-mi çok önemli yararlar sağlamaktadır. Fourier dönüşümünün tersinirlik özelliği frekans ortamından kolayca zaman ortamına geçebilmeyi sağladığından, evrişim yerine frekans ortamında çarpma işlemi yapıp ters Fourier dönüşümü ile yeniden zaman ortamına dönülebilir.

 

 

 

 

 

 

 

 

  26/4/2007 | Kategori:Matematik | (yok) Yorum yaz! | Baglanti

---

7. ve 8. sınıflar denklem soruları